プラズマ中の波動

ただし、外部磁場と垂直に進行し、温度0の場合

はじめに

 この節では、波が外部磁場に垂直な方向に進行する場合、すなわち、波数ベクトルと外部磁場ベクトルが直交する場合について検討する。
 なお、ここでも相変わらず温度は0のコールドプラズマを仮定する。


プラズマ中の波動を数式で表す

 前節と同様、ここでは外部磁場が時間および空間に対して一様でプラズマの温度が0で、さらに、簡単のため物理量の波動の成分が定常成分と比べて非常に小さい場合、を仮定する。
 プラズマ中の波動を求めるには、以下の方程式を用いる。これも前節と同様である。




ここで、は、それぞれ、波動電場ベクトル、波動による磁束密度ベクトルをあらわし、は、それぞれ、荷電粒子sの電流密度ベクトル電荷量体積密度速度ベクトル質量外部磁場ベクトルである。第1式と第2式はマックスウェル方程式第3式は電流密度を表す式第4式は運動方程式である。

 ここでは、波の進行方向がz方向であるとする。また、波動の角周波数をとする。上記の3つ仮定と外部磁場ベクトルの方向をx方向として、上の4つの方程式を解くことにより、以下の波動電場の式が得られる(多くの教科書では、外部磁場の方向をz方向としているが、ここでは波の進行方向をz方向としている点に注意)




ただし、
(O1)
あるいは、
(X1)
 ここで、はそれぞれ、電場ベクトルのx, y, z成分である。前節と同様、は、カッコ内の複素数の実部を取ることを意味している。, , はそれぞれ、


と表される。
 前節と同様、は、
と定義される(の定常成分)。すなわち、荷電粒子sのプラズマ(角)周波数である。
 また、は、
と定義される。すなわち、荷電粒子sのサイクロトロン(角)周波数である。
 

 前節と同様、, , は、任意の値を取れない。すなわち、が、上記(O1)式である場合は、

(O2)
であり、上記(X1)式である場合は、
(X2)
である。
 (O1),(O2)式で表される波をO波(正常波)、(X1),(X2)式で表される波をX波(異常波)という。また、(O2)式は横波であること(波動電場のz成分がゼロだから)、(X2)式は縦波成分と横波成分とからなるハイブリッド波であることをあらわしている。


アプレットでシミュレーション

 では、早速アプレット。

アプレットを開く
 以下のような画面が表示されるはず。
 左カンバスではO波(正常波)を、右カンバスではX波(異常波)をシミュレーションしている。左カンバス、右カンバスとも、密度、外部磁場強度は同じとしている。


O波の特性

 O波の特性はいたって単純である。高い周波数から周波数を低くしていくと(参考:周波数の調整、角周波数

となった時点でカットオフするこれより低い周波数ではエバネッセント波となって伝播しない

 また、左カンバス下の周波数―波数のグラフを見ると(参考:周波数―波数のグラフを表示(対数目盛)密度を変化させるとO波の周波数と波数の関係が変化するのに対し(参考:密度を変える外部磁場強度を変えてもO波の周波数と波数の関係は変化しない(参考:外部磁場強度を変える

 このように、O波の伝播特性は外部磁場の影響を受けない。このような性質を利用して、O波はプラズマの密度計測に用いられている

 なぜ、外部磁場の影響を受けないのかというと、原因は波動電場の向きが、外部磁場の向きと同じ、すなわちだからである。これにより、電子やイオンの荷電粒子の運動方向が、外部磁場の向きと一致するため、荷電粒子がローレンツ力を受けないからである。

 また、O波は外部磁場の影響を受けないゆえに、先のセクションで見た外部磁場がない状態でのプラズマ中の波動と同じ伝播特性を示す。


X波の性質

 O波に対して、X波は複雑な性質を持っている。そういう意味で「異常」波といわれるようになったのかは分からないが。
 周波数と波数との関係は、以下の図(見にくくて申し訳ない)のように、2つの共鳴2つの遮断(カットオフ)で成り立っている。


 周波数の低い側から、伝播・エバネッセントの区別をすると、
(伝播) < 低域混成共鳴 < (エバネッセント) < L遮断 < (伝播) < 高域混成共鳴 < (エバネッセント) < R遮断 < (伝播)
という関係である。

パラメータDの性質

 ここで今後の計算のために、(X1)式に出てくるパラメータの性質を述べておく。
 ここでは、電子と1種のイオンのみからなるプラズマを考え、さらに、定常的に電気的中性な条件、

を用いると、は、以下のようになる。

 これから分かることは、周波数が非常に高い場合()も、非常に低い場合()、どちらの場合も

となることである。

周波数が高い場合

 周波数が非常に高い場合は、荷電粒子が電磁場の振動に追いついていけないため、真空中の電磁波と同様の性質を示す。
 またすぐ上で述べたとおり、となることから、上記(X2)式において、であることもわかるだろう。すなわち、波動電場の縦波成分はゼロになり、横波となる。真空中の波動が横波であることを考えれば、当たり前である。

周波数が低い場合

 周波数が非常に低い)場合、であることにより、(X1)式は、

である。このときの位相速度は、
である。イオンのプラズマ(角)周波数が、そのサイクロトロン(角)周波数より十分大きい場合を仮定し、さらに、イオンの質量が電子のそれより十分大きいことを考慮すると、位相速度は、
に行き着く。(前節で見たとおり)波動が外部磁場の方向に伝播する場合と同様、周波数が非常に十分低いときは、X波はアルベン速度で伝播する。この波動については、後に圧縮性アルベン波というところで解説する。
 また、周波数が非常に高い場合と同様、上記(X2)式から横波となることもわかるだろう。

混成共鳴

 R波では各1つの共鳴と遮断(電子サイクロトロン共鳴、R遮断)、L波でも各1つの共鳴と遮断(イオンサイクロトロン共鳴、L遮断)を有していたが、X波では、それぞれ2つの共鳴と遮断高域混成共鳴低域混成共鳴L遮断R遮断)を有している。
 ここで、高域混成共鳴が発生する(角)周波数低域混成共鳴が発生する(角)周波数は、方程式

を、について解くことにより得られる。また、R遮断が発生する(角)周波数L遮断が発生する(角)周波数は、それぞれ方程式、
を、について解くことにより得られる。
 混成共鳴では、ゼロになる。このとき、(X2)式において、になることがわかるだろう。すなわち、混成共鳴では、波動は完全な縦波になる
 アプレットで試しに混成共鳴に周波数を近づけてみると(参考:周波数の調整、波動が縦波に近づいていくことがわかるだろう。
 また、ガウスの法則から、縦波が生じているということは、
であること、すなわち、局所的に電荷中性が取れていないことを表している。この様子も、アプレットで、電子やイオンの軌道を表示させることにより、電子とイオンで電荷分布に偏りが生じていることが確認できるだろう。


圧縮性アルベン波

 先に述べたとおり、周波数が十分小さい場合におけるX波は、圧縮性アルベン波となる。ここでは、圧縮性アルベン波の性質を見てみる。
 まずは、磁力線と荷電粒子の動きを見てみる。以下のアプレットを開いていただきたい。

アプレットを開く
 アプレットを開くと以下のようなシミュレーションが実行される。

磁力線の分布

 左カンバスの赤いベクトル、波動磁場と外部磁場の和、すなわち、をあらわしている。なお、ここでは変化を分かりやすくするため、ベクトルの大きさの変化を誇張してシミュレーションしている。実際は、波動磁場が外部磁場より非常に小さい場合を仮定している点に注意されたい。
 ここで、磁力線の分布について考えてみる。磁力線は、磁場ベクトルと平行で、磁場強度が大きいほどその本数が多い。以上を考慮すると磁力線は以下のようにイメージされるだろう。

すなわち、x方向に伸びる磁力線(ピンク色の線)同士の間隔が狭いところと広いところが現れ、その間隔が狭い部分と広い部分が波の伝播方向であるz方向に伝播していくことが想像できるだろう。このように、磁力線の疎の部分と密な部分ができることから、「圧縮性」アルベン波という名がつけられている。

荷電粒子の運動

 一方、アプレットの右カンバスは、電子とイオンの軌道をシミュレーションしている。シアーアルベン波と同様、圧縮性アルベン波でも、電子とイオンは揃って振動運動していることがわかるだろう。ただし、圧縮性アルベン波の場合は、電子とイオンの運動の方向がz方向、すなわち、波の伝播方向に運動している点が大きく異なっている。
 電子とイオンが揃って運動しているということは、電荷分布の中性が保たれている。したがって、圧縮性アルベン波では、縦波が生じない

 さらに、新たなアプレットで電子とイオンにはたらく力について見てみる。

アプレットを開く
 アプレットを開くと、以下のような画面が表示される。
左のカンバスは、電子の運動及び電子にはたらく力をシミュレーションし、右のカンバスはイオンの運動及びイオンにはたらく力をシミュレーションしている。ここで、黒いベクトルは波動電場による静電力、すなわち、
を表し、赤いベクトルはローレンツ力、すなわち、
を表している。
 アプレットのシミュレーションより、電子、イオンの双方において、静電力とローレンツ力はともに、互いにほぼ逆向きで、ほとんどy方向を向いていることがわかるだろう。
 ただし、静電力、ローレンツ力ともにほとんどy方向を向いているのにも関わらず、電子やイオンはz方向に運動していることに違和感を感じるかもしれない。これは、静電力とローレンツ力の合力を取ると、y方向成分が互いに打ち消されることにより、合力がほとんどz方向を向くからである。
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