プラズマ中の波動

ただし、温度0の場合

はじめに

 これまでは、外部磁場に平行または垂直に伝播する波動についてみてきたが、ここからは、任意の向きに伝播するプラズマ波動について検討する。  なお、ここでも相変わらず温度は0のコールドプラズマを仮定する。


プラズマ中の波動を数式で表す

 前節と同様、ここでは外部磁場が時間および空間に対して一様でプラズマの温度が0で、さらに、簡単のため物理量の波動の成分が定常成分と比べて非常に小さい場合、を仮定する。
 プラズマ中の波動を求めるには、以下の方程式を用いる。これも前節と同様である。




ここで、は、それぞれ、波動電場ベクトル、波動による磁束密度ベクトルをあらわし、は、それぞれ、荷電粒子sの電流密度ベクトル電荷量体積密度速度ベクトル質量外部磁場ベクトルである。第1式と第2式はマックスウェル方程式第3式は電流密度を表す式第4式は運動方程式である。

 ここでは、波の進行方向がz方向であるとする。また、波動の角周波数をとする。上記の3つ仮定と以下の図のように外部磁場ベクトルの方向とz軸方向がなす角度をθとして、上の4つの方程式を解くことにより、以下の波動電場の式が得られる(多くの教科書では、外部磁場の方向をz方向としているが、ここでは波の進行方向をz方向としている点に注意)




ただし、
(N1)
あるいは、
(N2)
 ここで、
であり、さらにはそれぞれ、電場ベクトルのx, y, z成分である。前節と同様、は、カッコ内の複素数の実部を取ることを意味している。, , はそれぞれ、


と表される。
 前節と同様、は、
と定義される(の定常成分)。すなわち、荷電粒子sのプラズマ(角)周波数である。
 また、は、
と定義される。すなわち、荷電粒子sのサイクロトロン(角)周波数である。

 ここでも、, , は、任意の値を取れない。すなわち、が、上記(N1)式である場合は、        

であり、上記(N2)式である場合は、
である。


アプレットでシミュレーション

 以上を踏まえて、アプレットにシミュレーションをさせる。

アプレットを開く
 以下のような画面が表示されるはず。
カンバス上の灰色のベクトル外部磁場の向きを表している。デフォルトでは、z軸に対し45度の傾きを成している。

外部磁場の向きを変えるetc.

 外部磁場の向きを変えるには、"theta=...(deg.)"と書かれたスクロールバーを動かせばよい(参考:外部磁場の向きを変える。"theta"は、外部磁場がz軸となす角度である。

 また、左右両カンバス下部のグラフには、外部磁場の向きθに対する屈折率Nの関係を表すグラフを表示可能としている(参考:外部磁場の向き―屈折率のグラフを表示


速波と遅波

 上記のとおり、プラズマ中の波動は、一つの周波数に対し、(N1)式と(N2)式の二つの波数を取りうる。これは、位相速度の異なる2つの波動が存在することを意味している。この二つの波動のうち、位相速度が大きい(波数が小さい)波を速波位相速度の小さい波(波数が大きい)を遅波という。
 上のアプレットでは、左カンバスが遅波をシミュレーションしており、右カンバスが速波をシミュレーションしている。
 なお、周波数や密度、磁場強度の条件により、(N1)式が速波で(N2)式が遅波に相当することもあれば、(N1)式が遅波で(N2)式が速波に相当することもあるので注意されたい。

 速波と遅波の(一般的な)特徴についてだが、私からこれと言って説明すべきことは無い外部磁場の向きを90度に近づけると、O波やX波に近い性質を持つようになり、0度に近づけるとR波やL波に近い性質を持つようになることくらいしか、言うことは無い。
 ただし、磁場閉じ込め核融合プラズマにおける波動加熱においては、速波や遅波が重要な役割を果たしている。これらについては、当サイトではなく、核融合関係のプラズマ物理の教科書を参考に勉強されたい。


各物理量の計算法

 さて、冷たいプラズマ中を伝播するプラズマ波動について一通り説明が済んだところで、波動磁場や電流密度をどう計算したのか説明したいと思う。
 すなわち、波動電場ベクトルについては、上に述べた波動電場に関する式を元にシミュレーションしているが、それ以外の物理量(電気変位ベクトル、波動磁場ベクトル、電流密度ベクトル、ポインチングベクトル、電子やイオンの運動軌道、電子やイオンにはたらく力)は、以下に説明するような方法で計算を行った。

物理量を複素共役の和であらわす

 上述のとおり、波動電場ベクトルの各成分は、




のように、コサインを用いて表した。ところが、このコサインで表した形は、その後の式変形で複雑になる。そこで、以下のように互いに複素共役なエクスポネンシャル関数の和の形で表す。
ただし、


とおいた。
 波動電場ベクトルに限らず、一般に物理量が、
のように、コサインを用いて表すことができる場合互いに複素共役なエクスポネンシャル関数の和の形で表すことができる

 こうすることで、時間微分と空間微分について以下の関係式が得られる。

,  
, 
, 
, 

 なお、以降は互いに複素共役な物理量, を、のように、1つにまとめてあらわすこととする

波動磁場

 波動磁場は、マックスウェル方程式の一つ、

を変形した式、すなわち、
から求められる。

電流密度ベクトル・電気変位ベクトル

 電流密度ベクトルと波動電場ベクトルは以下の関係がある。

すなわち、
ここで、は、導電率テンソルである。

 導電率テンソルの各成分は、


を解くことにより、以下のように表される。
電流密度ベクトルは、この導電率テンソルを使って求めている

 電気変位ベクトルは、

で表される。なお、は、電気分極ベクトルという。
 この式は、さらに、
の形に表すことができる。誘電率テンソルという。
 誘電率テンソルと導電率テンソルは以下の関係が成り立っているから、
誘電率テンソルの各成分は、
である。この誘電率テンソルを用いて、電気変位ベクトルを求めている。

荷電粒子の速度ベクトル・位置ベクトル

 荷電粒子sの速度ベクトルは、運動方程式

を解くことによって求められる。すなわち、
で求められる。

 位置ベクトルは、速度ベクトル時間積分すれば求められる。すなわち、

 なお、は、以下のとおり定義される。



その他の物理量

 当アプレットでは、ポインチングベクトル、波動電場・波動磁場のエネルギー、静電気力、ローレンツ力もシミュレーションしているが、これらの物理量は以上で求められた波動電場、波動磁場、速度ベクトルを用いて計算されている。
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